Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (\sin^{2} (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 2

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ à $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4

Déplacez $2$ à gauche de $\csc^{2} (x)$ .

$2 \cdot \csc^{2} (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réorganisez les facteurs de $2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

Étape 6.2

Ajoutez des parenthèses.

$2 \csc^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 6.3

Remettez dans l’ordre $2 \csc^{2} (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) (2 \csc^{2} (x))$

Étape 6.4

Ajoutez des parenthèses.

$\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \csc^{2} (x)$

Étape 6.5

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\sin (x) \cdot 2$ .

$\sin (x) \cdot 2 \cos (x) \csc^{2} (x)$

Étape 6.6

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \csc^{2} (x)$

Étape 6.7

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) \csc^{2} (x)$

Étape 6.8

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (2 x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Étape 6.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\sin (2 x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sin (2 x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6.11

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6.12

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6.13

Annulez le facteur commun à $\sin (x)$ et $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 6.13.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.13.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 6.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Étape 6.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 6.14

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 6.15

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Étape 6.16

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \cot (x)$