Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 e^{x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 e^{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ .

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (x^{3})$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2}))$

Étape 3.4

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$8 e^{x} + 4 (\frac{3}{x^{3}} x^{2})$

Étape 3.5

Associez $\frac{3}{x^{3}}$ et $x^{2}$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Étape 3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Étape 3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Étape 3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 e^{x} + 4 \frac{3}{x}$

Étape 3.7

Associez $4$ et $\frac{3}{x}$ .

$8 e^{x} + \frac{4 \cdot 3}{x}$

Étape 3.8

Multipliez $4$ par $3$ .

$8 e^{x} + \frac{12}{x}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{12}{x} + 8 e^{x}$