Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{8}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{8}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{8}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.2.3

Associez $3$ et $\frac{8}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.2.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{24}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun à $24$ et $3$ .

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.2.6.2.4

Divisez $8 x^{2}$ par $1$ .

$8 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$8 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x^{2} - 2 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $8 x^{2} - 2$ et $0$ .

$8 x^{2} - 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$f'' (x) = 16 x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 16 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $16 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 16 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$8 x^{2} - 2 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{8}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{8}{3} x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{8}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{8}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{8}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{8}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$f' (x) = \frac{24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.5

Associez $\frac{24}{3}$ et $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.6

Annulez le facteur commun à $24$ et $3$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $24 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{3 (8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.6.2.4

Divisez $8 x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = 8 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $8 x^{2} - 2$ et $0$ .

$f' (x) = 8 x^{2} - 2$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $8 x^{2} - 2$ .

$8 x^{2} - 2$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $8 x^{2} - 2 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$8 x^{2} - 2 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x^{2} = 2$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $8 x^{2} = 2$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $8 x^{2} = 2$ par $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{2}{8}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{2}{8}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{8}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{8}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 5.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 5.5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$16 (\frac{1}{2})$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 (8) \frac{1}{2}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 8 \frac{1}{2}$

Étape 9.3

Réécrivez l’expression.

$8$

Étape 10

$x = \frac{1}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{2}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.1.2

Associez.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 2^{3}} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1}{3 \cdot 8} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8}{3 \cdot 8} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8}{24} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.1.7

Annulez le facteur commun à $8$ et $24$ .

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Étape 11.2.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 (1)}{24} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.7.2.1

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 3} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 3} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + 2 (- 1) (\frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3}$

Étape 11.2.2

Associez les fractions.

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Étape 11.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{1 + 1}{3}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 + \frac{2}{3}$

Étape 11.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 11.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 11.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1 \cdot 3 + 2}{3}$

Étape 11.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 2}{3}$

Étape 11.2.6.2

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{3}$

Étape 11.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{3}$

Étape 11.2.8

La réponse finale est $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{1}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$16 (- \frac{1}{2})$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$16 (\frac{- 1}{2})$

Étape 13.1.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$2 (8) \frac{- 1}{2}$

Étape 13.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 8 \frac{- 1}{2}$

Étape 13.1.4

Réécrivez l’expression.

$8 \cdot - 1$

Étape 13.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 8$

Étape 14

$x = - \frac{1}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{1}{2}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot (- \frac{1}{2^{3}}) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot (- \frac{1}{8}) - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 15.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot \frac{- 1}{8} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{8}{3} \cdot \frac{- 1}{8} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} - 2 (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} + 2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2})) + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} - 1 \cdot - 1 + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3}$

Étape 15.2.2

Associez les fractions.

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Étape 15.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + \frac{- 1 + 1}{3}$

Étape 15.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + \frac{0}{3}$

Étape 15.2.2.2.2

Divisez $0$ par $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1 + 0$

Étape 15.2.2.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 1$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{8}{3} x^{3} - 2 x + \frac{1}{3}$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{3})$ est un minimum local

$(- \frac{1}{2}, 1)$ est un maximum local

Étape 17