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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 1.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 1.1.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 1.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2
Différenciez.
Étape 1.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.3
Additionnez et .
Étape 1.2.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.6
Multipliez par .
Étape 1.3
Simplifiez
Étape 1.3.1
Réorganisez les facteurs de .
Étape 1.3.2
Remettez les facteurs dans l’ordre dans .
Étape 2
Étape 2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 2.3.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 2.4
Différenciez.
Étape 2.4.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.3
Additionnez et .
Étape 2.4.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.4.6
Multipliez par .
Étape 2.5
Élevez à la puissance .
Étape 2.6
Élevez à la puissance .
Étape 2.7
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.8
Simplifiez l’expression.
Étape 2.8.1
Additionnez et .
Étape 2.8.2
Déplacez à gauche de .
Étape 2.9
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.10
Multipliez par .
Étape 2.11
Simplifiez
Étape 2.11.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 2.11.2
Multipliez par .
Étape 2.11.3
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 2.11.4
Remettez les facteurs dans l’ordre dans .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 4.1.1
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 4.1.1.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 4.1.1.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 4.1.2
Différenciez.
Étape 4.1.2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.3
Additionnez et .
Étape 4.1.2.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.1.2.6
Multipliez par .
Étape 4.1.3
Simplifiez
Étape 4.1.3.1
Réorganisez les facteurs de .
Étape 4.1.3.2
Remettez les facteurs dans l’ordre dans .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5.3
Définissez égal à .
Étape 5.4
Définissez égal à et résolvez .
Étape 5.4.1
Définissez égal à .
Étape 5.4.2
Résolvez pour .
Étape 5.4.2.1
Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.
Étape 5.4.2.2
L’équation ne peut pas être résolue car est indéfini.
Indéfini
Étape 5.4.2.3
Il n’y a pas de solution pour
Aucune solution
Aucune solution
Aucune solution
Étape 5.5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 6
Étape 6.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Étape 9.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 9.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.2
Multipliez par .
Étape 9.1.3
Simplifiez chaque terme.
Étape 9.1.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.3.2
Multipliez par .
Étape 9.1.4
Additionnez et .
Étape 9.1.5
Simplifiez
Étape 9.1.6
Multipliez par .
Étape 9.1.7
Simplifiez chaque terme.
Étape 9.1.7.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.1.7.2
Multipliez par .
Étape 9.1.8
Additionnez et .
Étape 9.1.9
Simplifiez
Étape 9.2
Soustrayez de .
Étape 10
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 11
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Étape 11.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 11.2.1.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 11.2.1.2
Multipliez par .
Étape 11.2.2
Additionnez et .
Étape 11.2.3
La réponse finale est .
Étape 12
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
Étape 13