Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.7.3

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Étape 1.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Étape 1.11.2

Multipliez $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ comme ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 2.1.2.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Étape 2.1.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 2.7.2

Associez ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 2.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.3.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 2.7.3.2

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 2.7.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 2.7.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 2.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot 1$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.7

Associez les fractions.

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Étape 4.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.7.3

Placez ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 4.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 4.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 4.1.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Étape 4.1.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Étape 4.1.11.2

Multipliez $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 5.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ par $27$ .

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 6.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 6.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 6.3.3.1.2.1.2

Divisez ${(x - 1)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

Étape 6.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 6.3.3.2

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.3.3.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2}{9 {((1) - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Étape 9.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 9.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{5}}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Étape 9.3.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Étape 9.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{2}{0}$

Étape 9.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée première $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{1}{3 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.1.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.2.2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.2.2.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 10.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 10.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

Étape 10.2.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 \cdot 1}$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{3}$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = \frac{1}{3 {((4) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f' (4) = \frac{1}{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.3.2.2

Multipliez $3$ par $3^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.3.2.2.1

Multipliez $3$ par $3^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 10.3.2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f' (4) = \frac{1}{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$

Étape 10.3.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (4) = \frac{1}{3^{1 + \frac{2}{3}}}$

Étape 10.3.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}$

Étape 10.3.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{3 + 2}{3}}}$

Étape 10.3.2.2.4

Additionnez $3$ et $2$ .

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 1$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 11