Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (x + 1) (2 x - 1) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) d x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 3.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$\int 2 \cdot x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 3.5

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$\int 2 \cdot x \cdot x - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 2 (x^{1} x) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 x^{1 + 1} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 3.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1 d x$

Étape 3.12

Additionnez $- 1 x$ et $2 x$ .

$\int 2 x^{2} + x - 1 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Étape 10

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + C$

Étape 10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$