Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{\sqrt{x}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 8.2

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 8.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 8.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 8.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 10.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 11

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 12

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 12.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 12.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 12.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 12.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 12.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 12.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Simplifiez

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{1}{x^{2}} + 3 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 14.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 14.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{8} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{8} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$