Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Étape 1

La fonction $G (t)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $g (t)$ .

$G (t) = \int g (t) d t$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$G (t) = \int \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{6 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Étape 4

Retirez $t^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (6 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (6 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (6 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (6 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6

Développez $(6 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (6 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.7

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.9

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.10

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Étape 6.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Étape 6.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.12.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Étape 6.12.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 8

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 12.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $g (t) = \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ .

$G (t) =$ $12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$