Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} 4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 4 {(x + h - 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{4 lim_{h \to 0} {(x + h - 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + h - 3)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{h \to 0} x + h - 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{4 {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{4 {(x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.6

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{4 {(x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 3)}^{2} - lim_{h \to 0} 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.7

Évaluez la limite de $4 {(x - 3)}^{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{4 {(x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{4 {(x + 0 - 1 \cdot 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{4 {(x - 1 \cdot 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4 {(x - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.2

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{4 ((x - 3) (x - 3)) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.3

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.2.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.4.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.4.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.4.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{4 (x^{2} - 6 x + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 \cdot 9 - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.2.6.1

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 4 \cdot 9 - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.6.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 {(x - 3)}^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.7

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 ((x - 3) (x - 3))}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.8

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x (x - 3) - 3 (x - 3))}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.2.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.2.9.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.9.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.9.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.9.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 (x^{2} - 6 x + 9)}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x^{2} - 4 (- 6 x) - 4 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.2.11.1

Multipliez $- 6$ par $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x^{2} + 24 x - 4 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2.11.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x^{2} + 24 x - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.3

Associez les termes opposés dans $4 x^{2} - 24 x + 36 - 4 x^{2} + 24 x - 36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.3.1

Soustrayez $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- 24 x + 36 + 0 + 24 x - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.3.2

Additionnez $- 24 x + 36$ et $0$ .

$\frac{- 24 x + 36 + 24 x - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.3.3

Additionnez $- 24 x$ et $24 x$ .

$\frac{0 + 36 - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.3.4

Additionnez $0$ et $36$ .

$\frac{36 - 36}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.3.5

Soustrayez $36$ de $36$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 {(x + h - 3)}^{2} - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Réécrivez ${(x + h - 3)}^{2}$ comme $(x + h - 3) (x + h - 3)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 ((x + h - 3) (x + h - 3)) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Développez $(x + h - 3) (x + h - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x \cdot x + x h + x \cdot - 3 + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h + x \cdot - 3 + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h - 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $h$ par $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h - 3 x + h x + h^{2} + h \cdot - 3 - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.4

Déplacez $- 3$ à gauche de $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h - 3 x + h x + h^{2} - 3 \cdot h - 3 x - 3 h - 3 \cdot - 3) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4.5

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + x h - 3 x + h x + h^{2} - 3 h - 3 x - 3 h + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $x h$ et $h x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + h x + h x - 3 x + h^{2} - 3 h - 3 x - 3 h + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x - 3 x + h^{2} - 3 h - 3 x - 3 h + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3 h - 6 x - 3 h + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.7

Soustrayez $3 h$ de $- 3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 {(x - 3)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.8

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 ((x - 3) (x - 3))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.9

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x (x - 3) - 3 (x - 3))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.10.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.10.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.10.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.10.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9) - 4 (x^{2} - 6 x + 9)$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9)] + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9)] + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12

Évaluez $\frac{d}{d h} [4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.12.1

Comme $4$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $4 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9)$ par rapport à $h$ est $4 \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9] + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 6 h - 6 x + 9$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.3

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.4

Comme $2 x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $2 h x$ par rapport à $h$ est $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 6 h$ par rapport à $h$ est $- 6 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h - 6 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 6 x] + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.9

Comme $- 6 x$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h - 6 \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d h} [9]) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.10

Comme $9$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $9$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h - 6 \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (0 + 2 x + 2 h - 6 \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.12

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6 \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.13

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6 + 0 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.14

Additionnez $2 x + 2 h - 6$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6 + 0) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.12.15

Additionnez $2 x + 2 h - 6$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6) + \frac{d}{d h} [- 4 (x^{2} - 6 x + 9)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.13

Comme $- 4 (x^{2} - 6 x + 9)$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 4 (x^{2} - 6 x + 9)$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x + 2 h - 6) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.14

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{h \to 0} \frac{4 (2 x) + 4 (2 h) + 4 \cdot - 6 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.14.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.14.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 x + 4 (2 h) + 4 \cdot - 6 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.14.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 x + 8 h + 4 \cdot - 6 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.14.2.3

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 x + 8 h - 24 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.14.2.4

Additionnez $8 x + 8 h - 24$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 x + 8 h - 24}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.14.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{h \to 0} \frac{8 h + 8 x - 24}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 h + 8 x - 24}{1}$

Étape 1.4

Divisez $8 h + 8 x - 24$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} 8 h + 8 x - 24$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 8 h + lim_{h \to 0} 8 x - lim_{h \to 0} 24$

Étape 2.2

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$8 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 8 x - lim_{h \to 0} 24$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $8 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$8 lim_{h \to 0} h + 8 x - lim_{h \to 0} 24$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $24$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$8 lim_{h \to 0} h + 8 x - 1 \cdot 24$

Étape 3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$8 \cdot 0 + 8 x - 1 \cdot 24$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$0 + 8 x - 1 \cdot 24$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$0 + 8 x - 24$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $8 x$ .

$8 x - 24$