Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Étape 2

La limite de $\frac{\sin (x)}{x}$ lorsque $x$ approche de $0$ est $1$ .

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Étape 2.4

Évaluez la limite.

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Étape 2.4.1

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Étape 2.4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\cos (0)$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1$