Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{x^{3} - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} {(x^{2} - 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $3$ de ${(x^{2} - 1)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{{(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.1.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{x^{3} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 1.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 1.3.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 {(x^{2} - 1)}^{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 1.3.8

Réorganisez les facteurs de $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Étape 1.3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{3 x^{2} + 0}$

Étape 1.3.12

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{3 x^{2}}$

Étape 1.4

Réduisez.

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x {(x^{2} - 1)}^{2})}{3 x^{2}}$

Étape 1.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x {(x^{2} - 1)}^{2})}{3 (x^{2})}$

Étape 1.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{3 (2 x {(x^{2} - 1)}^{2})}{3 x^{2}}$

Étape 1.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x {(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (2 {(x^{2} - 1)}^{2})}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x (2 {(x^{2} - 1)}^{2})}{x \cdot x}$

Étape 1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{x (2 {(x^{2} - 1)}^{2})}{x \cdot x}$

Étape 1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{2 {(x^{2} - 1)}^{2}}{x}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{lim_{x \to 1} {(x^{2} - 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 2.3

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x^{2} - 1)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{{(lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{{({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \frac{{(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \frac{{(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}}{1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Divisez ${(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}$ par $1$ .

$2 {(1^{2} - 1 \cdot 1)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 {(1 - 1 \cdot 1)}^{2}$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 {(1 - 1)}^{2}$

Étape 4.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 \cdot 0^{2}$

Étape 4.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \cdot 0$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$0$