Calcul infinitésimal Exemples

$y = x$ , $y = 2 \sqrt{x}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x = 2 \sqrt{x}$

Étape 1.2

Résolvez $x = 2 \sqrt{x}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 \sqrt{x} = x$

Étape 1.2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = x^{2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{1} = x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.4

Simplifiez

$4 x = x^{2}$

Étape 1.2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x - x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.4.2.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$4 u - u^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Factorisez $u$ à partir de $4 u - u^{2}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Factorisez $u$ à partir de $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2.2.2

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Étape 1.2.4.2.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Étape 1.2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x (4 - x) = 0$

Étape 1.2.4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0 + y = 2 \sqrt{x}$

Étape 1.2.4.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.4.5

Définissez $4 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.5.1

Définissez $4 - x$ égal à $0$ .

$4 - x = 0$

Étape 1.2.4.5.2

Résolvez $4 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.5.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 1.2.4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.2.4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.2.4.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.2.4.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.5.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 1.2.4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (4 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 2 \sqrt{0}$

Étape 1.3.2

Simplifiez $2 \sqrt{0}$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \sqrt{0}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 2 \cdot 0$

Étape 1.3.2.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 4$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$y = 2 \sqrt{4}$

Étape 1.4.2

Simplifiez $2 \sqrt{4}$ .

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \sqrt{4}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 2 \cdot 2$

Étape 1.4.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = 4$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(4, 4)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{4} 2 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{4} x d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $4$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{x} - (x) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $x$ .

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{x} - x d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{4} - x d x$

Étape 3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{4} - x d x$

Étape 3.5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{4} - x d x$

Étape 3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x d x$

Étape 3.7

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x d x$

Étape 3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x d x$

Étape 3.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Étape 3.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Étape 3.10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.10.2.1

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $4$ et sur $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Étape 3.10.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3

Simplifiez

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Étape 3.10.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.10.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.5

Multipliez $2$ par $8$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.10.2.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.10

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 3.10.2.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.2.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 (\frac{16}{3} - 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (\frac{16}{3} + 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.13

Additionnez $\frac{16}{3}$ et $0$ .

$2 (\frac{16}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.14

Associez $2$ et $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.15

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.16

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.17

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 3.10.2.3.17.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.2.3.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32}{3} - (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.17.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.10.2.3.18

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{2})$

Étape 3.10.2.3.19

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 3.10.2.3.19.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 3.10.2.3.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.2.3.19.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 3.10.2.3.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 3.10.2.3.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{1})$

Étape 3.10.2.3.19.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{32}{3} - (8 - 0)$

Étape 3.10.2.3.20

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 + 0)$

Étape 3.10.2.3.21

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{32}{3} - 1 \cdot 8$

Étape 3.10.2.3.22

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{32}{3} - 8$

Étape 3.10.2.3.23

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.10.2.3.24

Associez $- 8$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Étape 3.10.2.3.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{32 - 8 \cdot 3}{3}$

Étape 3.10.2.3.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.2.3.26.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{32 - 24}{3}$

Étape 3.10.2.3.26.2

Soustrayez $24$ de $32$ .

$\frac{8}{3}$

Étape 4