Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} + y^{2} = 54$ , $(5, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 5$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (54)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 x + 2 y y'$

Étape 1.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 4 x$

Étape 1.3

Comme $54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $54$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' + 4 x = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' = - 4 x$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $2 y y' = - 4 x$ par $2 y$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = - 4 x$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Étape 1.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Étape 1.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

Étape 1.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Étape 1.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

Étape 1.5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 5$ sur $y = 2$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$- \frac{2 (5)}{y}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $2$ dans l’expression.

$- \frac{2 (5)}{2}$

Étape 1.7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 5}{2}$

Étape 1.7.3.2

Divisez $5$ par $1$ .

$- 1 \cdot 5$

Étape 1.7.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 5$ et un point donné, tel que $(5, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 5 \cdot (x - (5))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = - 5 \cdot (x - 5)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 5 \cdot (x - 5)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 - 5 \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = - 5 \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = - 5 x - 5 \cdot - 5$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$y - 2 = - 5 x + 25$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 5 x + 25 + 2$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $25$ et $2$ .

$y = - 5 x + 27$

Étape 3