Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{n \to 8} {(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})}^{n}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{n \to 8} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\frac{n + 1}{n})}^{n}$ comme $e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})$ en déplaçant $n$ hors du logarithme.

$lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n + 1}{n})}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n + 1}{n})}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n + 1}{n})}$

Étape 3.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n + 1}{n})}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Étape 3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Étape 3.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez $8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({(\frac{8 + 1}{8})}^{8})}$

Étape 5.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(\frac{8 + 1}{8})}^{8}$

Étape 5.3

Additionnez $8$ et $1$ .

${(\frac{9}{8})}^{8}$

Étape 5.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{8}$ .

$\frac{9^{8}}{8^{8}}$

Étape 5.5

Élevez $9$ à la puissance $8$ .

$\frac{43046721}{8^{8}}$

Étape 5.6

Élevez $8$ à la puissance $8$ .

$\frac{43046721}{16777216}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{43046721}{16777216}$

Forme décimale :

$2.56578451 \dots$