Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (\sin (x))$ , $(2 π, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2 π$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

Étape 1.3

Réorganisez les facteurs de $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 2 π$ .

$\cos (2 π) \cos (\sin (2 π))$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cos (0) \cos (\sin (2 π))$

Étape 1.5.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1 \cos (\sin (2 π))$

Étape 1.5.3

Multipliez $\cos (\sin (2 π))$ par $1$ .

$\cos (\sin (2 π))$

Étape 1.5.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cos (\sin (0))$

Étape 1.5.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\cos (0)$

Étape 1.5.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(2 π, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (2 π))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 2 π)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 2 π)$

Étape 2.3.2

Multipliez $x - 2 π$ par $1$ .

$y = x - 2 π$

Étape 3