Calcul infinitésimal Exemples

$x = - 1$ , $x = 2$ , $y = 3 e^{3 x}$ , $y = 2 e^{3 x} + 1$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$

Étape 1.2

Résolvez $3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Soustrayez $2 e^{3 x}$ des deux côtés de l’équation.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} = 1$

Étape 1.2.1.2

Soustrayez $2 e^{3 x}$ de $3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} = 1$

Étape 1.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (1)$

Étape 1.2.3

Développez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.1

Développez $\ln (e^{3 x})$ en déplaçant $3 x$ hors du logarithme.

$3 x \ln (e) = \ln (1)$

Étape 1.2.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$3 x \cdot 1 = \ln (1)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 x = \ln (1)$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$3 x = 0$

Étape 1.2.5

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 2 e^{3 (0)} + 1$

Étape 1.3.2

Simplifiez $2 e^{3 (0)} + 1$ .

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$y = 2 e^{0} + 1$

Étape 1.3.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y = 2 \cdot 1 + 1$

Étape 1.3.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = 2 + 1$

Étape 1.3.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = 3$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 3)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 d x - \int_{- 1}^{0} 3 e^{3 x} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 1$ et $0$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - (3 e^{3 x}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - 3 e^{3 x} d x$

Étape 3.3

Soustrayez $3 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x}$ .

$\int_{- 1}^{0} 1 - e^{3 x} d x$

Étape 3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{0} d x + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Étape 3.5

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} e^{3 x} d x$

Étape 3.7

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.7.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.7.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 3.7.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 3.7.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 3.7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot - 1$

Étape 3.7.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$u_{lower} = - 3$

Étape 3.7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 0$

Étape 3.7.5

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 3.7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Étape 3.7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 3.8

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 3.9

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u)$

Étape 3.10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Étape 3.11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.11.1

Évaluez $x$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Étape 3.11.2

Évaluez $e^{u}$ sur $0$ et sur $- 3$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Étape 3.11.3

Simplifiez

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Étape 3.11.3.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Étape 3.11.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - e^{- 3})$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{e^{3}})$

Étape 3.12.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 - \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Étape 3.12.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Étape 3.12.1.4

Multipliez $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$ .

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Étape 3.12.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{e^{3}}$

Étape 3.12.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Étape 3.12.1.4.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{e^{3}}$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Étape 3.12.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Étape 3.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - 1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Étape 3.12.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Étape 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} + 1 d x$

Étape 5

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $2$ .

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Étape 5.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - (2 e^{3 x} + 1) d x$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 e^{3 x} - (2 e^{3 x}) - 1 \cdot 1$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 \cdot 1$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1$

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 d x$

Étape 5.3

Soustrayez $2 e^{3 x}$ de $3 e^{3 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - 1 d x$

Étape 5.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Étape 5.5

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.5.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.5.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 5.5.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 5.5.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 5.5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Étape 5.5.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Étape 5.5.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$u_{upper} = 6$

Étape 5.5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Étape 5.5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Étape 5.6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Étape 5.7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Étape 5.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Étape 5.9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + - x]_{0}^{2}$

Étape 5.10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.10.1

Évaluez $e^{u}$ sur $6$ et sur $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + - x]_{0}^{2}$

Étape 5.10.2

Évaluez $- x$ sur $2$ et sur $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 5.10.3

Simplifiez

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Étape 5.10.3.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 5.10.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Étape 5.10.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2 + 0$

Étape 5.10.3.4

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2$

Étape 5.11

Simplifiez

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Étape 5.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.11.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Étape 5.11.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Étape 5.11.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3} - 2$

Étape 5.11.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2$

Étape 5.11.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.11.3

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Étape 5.11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

Étape 5.11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.11.5.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 6}{3}$

Étape 5.11.5.2

Soustrayez $6$ de $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 7}{3}$

Étape 5.11.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$

Étape 6

Additionnez les aires $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$ .

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Étape 6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + e^{6} - 7}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Étape 6.2

Soustrayez $7$ de $2$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Étape 6.3

Pour écrire $\frac{e^{6} - 5}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} \cdot \frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Étape 6.4

Associez les fractions.

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{e^{6} - 5}{3}$ par $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3}}{3 e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Étape 6.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{6} e^{3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Étape 6.5.2

Multipliez $e^{6}$ par $e^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{6 + 3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Étape 6.5.2.2

Additionnez $6$ et $3$ .

$\frac{e^{9} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Étape 7