Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{b} (216) = 3$

Étape 1

Réécrivez $\log_{b} (216) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$b^{3} = 216$

Étape 2

Résolvez $b$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $216$ des deux côtés de l’équation.

$b^{3} - 216 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $216$ comme $6^{3}$ .

$b^{3} - 6^{3} = 0$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = b$ et $b = 6$ .

$(b - 6) (b^{2} + b \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $b$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 6^{2}) = 0$

Étape 2.2.3.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$b - 6 = 0$

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Étape 2.4

Définissez $b - 6$ égal à $0$ et résolvez $b$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $b - 6$ égal à $0$ .

$b - 6 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$b = 6$

Étape 2.5

Définissez $b^{2} + 6 b + 36$ égal à $0$ et résolvez $b$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $b^{2} + 6 b + 36$ égal à $0$ .

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $b^{2} + 6 b + 36 = 0$ pour $b$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 6$ et $c = 36$ dans la formule quadratique et résolvez pour $b$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $144$ de $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 108$ comme $- 1 (108)$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (108)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.7

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.2.3.1.7.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.9

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$b = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$ vraie.

$b = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$