Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (1 - x) + \ln (2 - x) = \ln (x + 14)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((1 - x) (2 - x)) = \ln (x + 14)$

Étape 1.2

Développez $(1 - x) (2 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (1 (2 - x) - x (2 - x)) = \ln (x + 14)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (1 \cdot 2 + 1 (- x) - x (2 - x)) = \ln (x + 14)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (1 \cdot 2 + 1 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\ln (2 + 1 (- x) - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\ln (2 - x - x \cdot 2 - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (2 - x - 2 x - x (- x)) = \ln (x + 14)$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (x + 14)$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (x + 14)$

Étape 1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (2 - x - 2 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (x + 14)$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (2 - x - 2 x + 1 x^{2}) = \ln (x + 14)$

Étape 1.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\ln (2 - x - 2 x + x^{2}) = \ln (x + 14)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- x$ .

$\ln (2 - 3 x + x^{2}) = \ln (x + 14)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$2 - 3 x + x^{2} = x + 14$

Étape 3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 - 3 x + x^{2} - x = 14$

Étape 3.1.2

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$2 + x^{2} - 4 x = 14$

Étape 3.2

Soustrayez $14$ des deux côtés de l’équation.

$2 + x^{2} - 4 x - 14 = 0$

Étape 3.3

Soustrayez $14$ de $2$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $x^{2} - 4 x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 3.6

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 3.7

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 6, - 2$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (1 - x) + \ln (2 - x) = \ln (x + 14)$ vrai.

$x = - 2$