Calcul infinitésimal Exemples

$\log (x + 3) + \log (x + 4) = \log (20)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 3) (x + 4)) = \log (20)$

Étape 1.2

Développez $(x + 3) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x (x + 4) + 3 (x + 4)) = \log (20)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x + x \cdot 4 + 3 (x + 4)) = \log (20)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x + x \cdot 4 + 3 x + 3 \cdot 4) = \log (20)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 4 + 3 x + 3 \cdot 4) = \log (20)$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\log (x^{2} + 4 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 4) = \log (20)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\log (x^{2} + 4 x + 3 x + 12) = \log (20)$

Étape 1.3.2

Additionnez $4 x$ et $3 x$ .

$\log (x^{2} + 7 x + 12) = \log (20)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} + 7 x + 12 = 20$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 7 x + 12 - 20 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $20$ de $12$ .

$x^{2} + 7 x - 8 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $x^{2} + 7 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $7$ .

$- 1, 8$

Étape 3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) (x + 8) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.6

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 3.6.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 8) = 0$ vraie.

$x = 1, - 8$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (x + 3) + \log (x + 4) = \log (20)$ vrai.

$x = 1$