Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x) + \ln (x + 2) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 2)) = 0$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2) = 0$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2) = 0$

Étape 1.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x) = 0$

Étape 2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{2} + 2 x)} = e^{0}$

Étape 3

Réécrivez $\ln (x^{2} + 2 x) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x^{2} + 2 x$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 2 x = e^{0}$ .

$x^{2} + 2 x = e^{0}$

Étape 4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} + 2 x = 1$

Étape 4.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Étape 4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 4.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x) + \ln (x + 2) = 0$ vrai.

$x = - 1 + \sqrt{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 1 + \sqrt{2}$

Forme décimale :

$x = 0.41421356 \dots$