Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = y$ .

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = y$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{x} - e^{- x} = y \cdot 2$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$e^{x} - e^{- x} = 2 y$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$e^{x} - {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

Étape 4.2

Remplacez $e^{x}$ par $u$ .

$u - u^{- 1} = 2 y$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 2 y$

Étape 4.4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 4.4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 4.4.2

Multiplier chaque terme dans $u - \frac{1}{u} = 2 y$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez chaque terme dans $u - \frac{1}{u} = 2 y$ par $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 2 y u$

Étape 4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 2 y u$

Étape 4.4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 4.4.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{u}$ dans le numérateur.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 2 y u$

Étape 4.4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 2 y u$

Étape 4.4.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$u^{2} - 1 = 2 y u$

Étape 4.4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.4.3.1

Soustrayez $2 y u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 1 - 2 y u = 0$

Étape 4.4.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4.3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2 y$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4

Simplifiez

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Étape 4.4.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.3.4.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.3

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.4.3.4.1.3.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2} + 4$ .

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Étape 4.4.3.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.4.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{2}) + 4 (1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.5

Réécrivez $4 (y^{2} + 1)$ comme $2^{2} (y^{2} + 1^{2})$ .

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Étape 4.4.3.4.1.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (y^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (y^{2} + 1^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2}$

Étape 4.4.3.4.3

Simplifiez $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2}$ .

$u = y \pm \sqrt{y^{2} + 1}$

Étape 4.4.3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

Étape 4.5

Remplacez $u$ par $y + \sqrt{y^{2} + 1}$ dans $u = e^{x}$ .

$y + \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$

Étape 4.6

Résolvez $y + \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$ .

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Étape 4.6.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = y + \sqrt{y^{2} + 1}$ .

$e^{x} = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

Étape 4.6.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

Étape 4.6.3

Développez le côté gauche.

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Étape 4.6.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

Étape 4.6.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

Étape 4.6.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

Étape 4.7

Remplacez $u$ par $y - \sqrt{y^{2} + 1}$ dans $u = e^{x}$ .

$y - \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$

Étape 4.8

Résolvez $y - \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$ .

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Étape 4.8.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x} = y - \sqrt{y^{2} + 1}$ .

$e^{x} = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

Étape 4.8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

Étape 4.8.3

Développez le côté gauche.

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Étape 4.8.3.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

Étape 4.8.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

Étape 4.8.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

Étape 4.9

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

$x = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

$x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

$x = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$