Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{z + 3}{z^{2} + 3 z + 2} - \frac{z - 1}{z^{2} + z - 2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $z^{2} + 3 z + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{z - 1}{z^{2} + z - 2}$

Étape 1.2

Factorisez $z^{2} + z - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{z - 1}{(z - 1) (z + 2)}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $z - 1$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{z - 1}{(z - 1) (z + 2)}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{1}{z + 2}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{1}{z + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z + 1}{z + 1}$ .

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{1}{z + 2} \cdot \frac{z + 1}{z + 1}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(z + 1) (z + 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{z + 2}$ par $\frac{z + 1}{z + 1}$ .

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{z + 1}{(z + 2) (z + 1)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(z + 2) (z + 1)$ .

$\frac{z + 3}{(z + 1) (z + 2)} - \frac{z + 1}{(z + 1) (z + 2)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{z + 3 - (z + 1)}{(z + 1) (z + 2)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z + 3 - z - 1 \cdot 1}{(z + 1) (z + 2)}$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{z + 3 - z - 1}{(z + 1) (z + 2)}$

Étape 5.3

Soustrayez $z$ de $z$ .

$\frac{0 + 3 - 1}{(z + 1) (z + 2)}$

Étape 5.4

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{3 - 1}{(z + 1) (z + 2)}$

Étape 5.5

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{2}{(z + 1) (z + 2)}$