Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{t \sin (t)}{1 + t}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t \sin (t)$ et $g (t) = 1 + t$ .

$\frac{(1 + t) \frac{d}{d t} [t \sin (t)] - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = \sin (t)$ .

$\frac{(1 + t) (t \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $\cos (t)$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \cdot 1) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $\sin (t)$ par $1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 4.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Développez $(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t))$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (t \cos (t) + \sin (t)) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.2.1

Multipliez $t \cos (t)$ par $1$ .

$\frac{t \cos (t) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.1.2.2

Multipliez $\sin (t)$ par $1$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.1.2.3

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.2.3.1

Déplacez $t$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t \cdot t \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.1.2.3.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Associez les termes opposés dans $t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Soustrayez $t \sin (t)$ de $t \sin (t)$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + 0}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Additionnez $t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)$ et $0$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{t \cos (t) + t^{2} \cos (t) + \sin (t)}{{(t + 1)}^{2}}$