Calcul infinitésimal Exemples

$g (u) = \sqrt{3} u + \sqrt{5 u}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{3} u + \sqrt{5 u}$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$ .

$\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u]$ .

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Étape 2.1

Comme $\sqrt{3}$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $\sqrt{3} u$ par rapport à $u$ est $\sqrt{3} \frac{d}{d u} [u]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

Étape 2.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 u}$ comme ${(5 u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [{(5 u)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Factorisez $5$ à partir de $5 u$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [{(5 (u))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $5 (u)$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [5^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.4

Comme $5^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $5^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

Étape 3.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.12

Associez $5^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sqrt{3} + \frac{5^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.13

Placez $u^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{3} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{3}$