Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - e^{x} \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Étape 4

Associez $\frac{1}{x}$ et $e^{x}$ .

$\frac{\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x) e^{x} - \frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} \ln (x) - \frac{e^{x}}{x}$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} \ln (x)$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x)) - \frac{e^{x}}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- \frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (\ln (x)) + e^{x} (- \frac{1}{x})$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x) - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5.2.2

Pour écrire $\ln (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{\ln (x) x}{x} - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x} \frac{\ln (x) x - 1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5.3

Associez $e^{x}$ et $\frac{\ln (x) x - 1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (x)}$

Étape 5.5

Associez.

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln^{2} (x)}$

Étape 5.6

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$

Étape 5.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{x} (\ln (x) x - 1)}{x \ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{x} (x \ln (x) - 1)}{x \ln^{2} (x)}$