Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} - 2 x}{x + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 2 x$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.9.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(x + 1) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x - 2) + 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.3

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 - x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} + 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$