Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$

Étape 1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 3$ et $g (x) = x^{3}$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$9 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $x$ .

$9 \frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$9 \frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 \frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$9 \frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 5

Déplacez $2$ à gauche de $x^{4}$ .

$9 \frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 \frac{2 x^{4} - (x^{2} - 3) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 \frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 7.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{4}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 7.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Étape 7.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Étape 8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$9 \frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Étape 9

Associez $9$ et $\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{4}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (2 x^{2}) + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{18 x^{2} + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Étape 10.3.1.2

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Étape 10.3.1.3

Multipliez $9 (- 3 \cdot - 3)$ .

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Étape 10.3.1.3.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Étape 10.3.1.3.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 81}{x^{4}}$

Étape 10.3.2

Soustrayez $27 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{2} + 81}{x^{4}}$

Étape 10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 x^{2} + 81$ .

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Étape 10.4.1.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{9 (- x^{2}) + 81}{x^{4}}$

Étape 10.4.1.2

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$\frac{9 (- x^{2}) + 9 (9)}{x^{4}}$

Étape 10.4.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (- x^{2}) + 9 (9)$ .

$\frac{9 (- x^{2} + 9)}{x^{4}}$

Étape 10.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{9 (- x^{2} + 3^{2})}{x^{4}}$

Étape 10.4.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $3^{2}$ .

$\frac{9 (3^{2} - x^{2})}{x^{4}}$

Étape 10.4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x$ .

$\frac{9 (3 + x) (3 - x)}{x^{4}}$