Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (5 x)}{5 x}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{\ln (5 x)}{5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (5 x)}{x}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (5 x)}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (5 x)$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{5 x}$ et $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{x}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{x}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [5 x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{1}{5} (5 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.1

Associez $5$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{5}{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{5}{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.4.3

Multipliez $\frac{d}{d x} [x]$ par $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \ln (5 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \ln (5 x)}{x^{2}}$

Étape 4.7.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1 - \ln (5 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (5 x)}{5 x^{2}}$