Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{\sqrt{7 - 3 x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 - 3 x}$ comme ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${({(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(7 - 3 x)}^{1}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

Étape 5.2

Multipliez ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]}{7 - 3 x}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 7 - 3 x$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 - 3 x$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 - 3 x$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Étape 11.3

Placez ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x])}{7 - 3 x}$

Étape 11.4

Associez $\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]}{7 - 3 x}$

Étape 12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{7 - 3 x}$

Étape 13

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{7 - 3 x}$

Étape 14

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x]}{7 - 3 x}$

Étape 15

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x])}{7 - 3 x}$

Étape 16

Associez les fractions.

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Étape 16.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + 3 \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{7 - 3 x}$

Étape 16.2

Associez $3$ et $\frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}{7 - 3 x}$

Étape 17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{7 - 3 x}$

Étape 18

Multipliez $\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Étape 19

Pour écrire ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Étape 20

Associez ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Étape 21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Étape 22

Multipliez ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 22.1

Déplacez ${(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Étape 22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Étape 22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Étape 22.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Étape 22.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{{(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Étape 23

Simplifiez ${(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{(7 - 3 x) \cdot 2 + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Étape 24

Déplacez $2$ à gauche de $7 - 3 x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$

Étape 25

Réécrivez $\frac{\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}}{7 - 3 x}$ comme un produit.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{7 - 3 x}$

Étape 26

Multipliez $\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{7 - 3 x}$ .

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (7 - 3 x)}$

Étape 27

Élevez $7 - 3 x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 ({(7 - 3 x)}^{1} {(7 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 28

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 29

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 31

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 (7 - 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32

Simplifiez

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Étape 32.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 7 + 2 (- 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 32.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 32.2.1.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{14 + 2 (- 3 x) + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{14 - 6 x + 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.2.2

Additionnez $- 6 x$ et $3 x$ .

$\frac{14 - 3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 x + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.5

Réécrivez $14$ comme $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.7

Réécrivez $- (3 x - 14)$ comme $- 1 (3 x - 14)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 32.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x - 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$