Calcul infinitésimal Exemples

$2 x e^{- x}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{- x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1)$

Étape 4.5

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x}$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x}$

Étape 5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x}$ .

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}$