Calcul infinitésimal Exemples

$- 3 \sec (x) \sin (x)$

Étape 1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sec (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sec (x) \sin (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\sec (x) \sin (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$- 3 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 3 (\sec (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 3 (\sec (x) \cos (x) + \sin (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 (\sec (x) \cos (x)) - 3 (\sin (x) \sec (x) \tan (x))$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses.

$- 3 \sec (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 \cos (x) \sec (x) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$- 3 (\cos (x) \sec (x)) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Étape 5.4.1.2

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\sec (x)$ .

$- 3 (\sec (x) \cos (x)) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Étape 5.4.1.3

Réécrivez $- 3 \cos (x) \sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 3 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Étape 5.4.1.4

Annulez les facteurs communs.

$- 3 \cdot 1 - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Étape 5.4.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 - 3 \sec (x) \sin (x) \tan (x)$

Étape 5.4.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 3 - 3 \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x)$

Étape 5.4.4

Associez $- 3$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- 3 + \frac{- 3}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x)$

Étape 5.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 - \frac{3}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x)$

Étape 5.4.6

Associez $\sin (x)$ et $\frac{3}{\cos (x)}$ .

$- 3 - \frac{\sin (x) \cdot 3}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 5.4.7

Déplacez $3$ à gauche de $\sin (x)$ .

$- 3 - \frac{3 \cdot \sin (x)}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 5.4.8

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 3 - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.4.9

Multipliez $- \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 5.4.9.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$- 3 - \frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 5.4.9.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 3 - \frac{3 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 5.4.9.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 3 - \frac{3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 5.4.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 - \frac{3 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 5.4.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 5.4.9.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Étape 5.4.9.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Étape 5.4.9.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 5.4.9.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 3 - \frac{3 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

Multipliez par $1$ .

$- 3 - \frac{3 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 5.5.2

Multipliez par $1$ .

$- 3 - \frac{3 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Étape 5.5.3

Séparez les fractions.

$- 3 - (\frac{3 \cdot (1)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)})$

Étape 5.5.4

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$- 3 - (\frac{3 \cdot (1)}{1} \tan^{2} (x))$

Étape 5.5.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 3 - (\frac{3}{1} \tan^{2} (x))$

Étape 5.5.6

Divisez $3$ par $1$ .

$- 3 - (3 \tan^{2} (x))$

Étape 5.5.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 - 3 \tan^{2} (x)$

Étape 5.6

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3$ .

$- 3 (1) - 3 \tan^{2} (x)$

Étape 5.7

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 \tan^{2} (x)$ .

$- 3 (1) - 3 (\tan^{2} (x))$

Étape 5.8

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (1) - 3 (\tan^{2} (x))$ .

$- 3 (1 + \tan^{2} (x))$

Étape 5.9

Réorganisez les termes.

$- 3 (\tan^{2} (x) + 1)$

Étape 5.10

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 3 \sec^{2} (x)$