Calcul infinitésimal Exemples

$x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{7} + 8 x^{7} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{7} \ln (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{7} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ .

$7 x^{6} + 8 \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.5

Associez $x^{7}$ et $\frac{1}{x}$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun à $x^{7}$ et $x$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{7}$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$7 x^{6} + 8 (\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 2.6.2.5

Divisez $x^{6}$ par $1$ .

$7 x^{6} + 8 (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 8 (\ln (x) (7 x^{6}))$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Multipliez $7$ par $8$ .

$7 x^{6} + 8 x^{6} + 56 (\ln (x) (x^{6}))$

Étape 3.2.2

Additionnez $7 x^{6}$ et $8 x^{6}$ .

$15 x^{6} + 56 \ln (x) x^{6}$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 x^{6} + 56 x^{6} \ln (x)$