Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (\frac{1}{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})] + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$x^{- 2} x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{- 2 + 2} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$x^{0} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez $x^{0} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1))$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos (\frac{1}{x})$ .

$- 1 \cdot \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.3

Réécrivez $- 1 \cos (\frac{1}{x})$ comme $- \cos (\frac{1}{x})$ .

$- \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) (2 x)$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x})$