Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{e^{(7 x^{2} - 3)}}{\ln (3 x + 5)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{7 x^{2} - 3}$ et $g (x) = \ln (3 x + 5)$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} - 3}] - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 7 x^{2} - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $7 x^{2} - 3$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3]) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3]) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $7 x^{2} - 3$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 3]) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 3.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x + \frac{d}{d x} [- 3])) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 3.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x + 0)) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 3.6

Additionnez $14 x$ et $0$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x + 5$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x + 5$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - e^{7 x^{2} - 3} (\frac{1}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3 x + 5}$ et $e^{7 x^{2} - 3}$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 5.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 5.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 + \frac{d}{d x} [5])}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 5.6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} (3 + 0)}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 5.7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} \cdot 3}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 5.7.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - 3 \frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 5.7.3

Associez $- 3$ et $\frac{e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) + \frac{- 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 5.7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) - \frac{3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 6

Pour écrire $\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$\frac{\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5)}{3 x + 5} - \frac{3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 8

Réécrivez $\frac{\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}}{\ln^{2} (3 x + 5)}$ comme un produit.

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 9

Multipliez $\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{3 x + 5}$ par $\frac{1}{\ln^{2} (3 x + 5)}$ .

$\frac{\ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} (14 x)) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{14 \ln (3 x + 5) (e^{7 x^{2} - 3} x) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.1.1.2

Simplifiez $14 \ln (3 x + 5)$ en déplaçant $14$ dans le logarithme.

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) (3 x + 5) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) (3 x) + \ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) \cdot 5 - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.1.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x \cdot x + \ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) \cdot 5 - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.1.1.5

Multipliez $\ln ({(3 x + 5)}^{14}) (e^{7 x^{2} - 3} x) \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.5.1

Remettez dans l’ordre $\ln ({(3 x + 5)}^{14})$ et $5$ .

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x \cdot x + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot (5 \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{14})) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.1.1.5.2

Simplifiez $5 \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{14})$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x \cdot x + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.1.1.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.6.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.6.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} (x \cdot x) + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.1.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 \ln ({(3 x + 5)}^{14}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.1.1.6.2

Simplifiez $3 \ln ({(3 x + 5)}^{14})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{\ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{3}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.1.1.6.3

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 5)}^{14})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{14 \cdot 3}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.1.1.6.3.2

Multipliez $14$ par $3$ .

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({({(3 x + 5)}^{14})}^{5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.1.1.6.4

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 5)}^{14})}^{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1.6.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{14 \cdot 5}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.1.1.6.4.2

Multipliez $14$ par $5$ .

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \cdot \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

$\frac{\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln ({(3 x + 5)}^{42}) e^{7 x^{2} - 3} x^{2} + e^{7 x^{2} - 3} x \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}$ .

$\frac{x^{2} e^{7 x^{2} - 3} \ln ({(3 x + 5)}^{42}) + x e^{7 x^{2} - 3} \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{(3 x + 5) \ln^{2} (3 x + 5)}$

Étape 10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{7 x^{2} - 3} x^{2} \ln ({(3 x + 5)}^{42}) + e^{7 x^{2} - 3} x \ln ({(3 x + 5)}^{70}) - 3 e^{7 x^{2} - 3}}{\ln^{2} (3 x + 5) (3 x + 5)}$