Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{6} \ln (7 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = \ln (7 x)$ .

$x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x$ .

$x^{6} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$x^{6} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x$ .

$x^{6} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{7 x}$ et $x^{6}$ .

$\frac{x^{6}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun à $x^{6}$ et $x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{x \cdot x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x$ .

$\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{5}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{5}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.1

Associez $7$ et $\frac{x^{5}}{7}$ .

$\frac{7 x^{5}}{7} \frac{d}{d x} [x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x^{5}}{7} \frac{d}{d x} [x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3.4.2.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [x] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{5} \cdot 1 + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3.6

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$x^{5} + \ln (7 x) (6 x^{5})$

Étape 3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{5} + 6 x^{5} \ln (7 x)$