Calcul infinitésimal Exemples

$4 t^{3} - \sqrt{t} + 2$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 t^{3} - \sqrt{t} + 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [4 t^{3}]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t^{3}$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 t^{2} + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$12 t^{2} + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 t^{2} - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 t^{2} - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$12 t^{2} - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 3.10

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 t^{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [2]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$12 t^{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 4.2

Additionnez $12 t^{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$12 t^{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$