Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{7} (x^{- \frac{1}{2}})}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$

Étape 1

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 \sqrt{2 + \sqrt{7 x}} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}$

Étape 3.2

Déplacez $\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{2 + \sqrt{7 x}} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}})}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{1} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}})}$

Étape 3.4

Élevez $\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{1} {\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{1})}$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{1 + 1}}$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{2}}$

Étape 3.7

Réécrivez ${\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}^{2}$ comme $2 + \sqrt{7 x}$ .

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Étape 3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + \sqrt{7 x}}$ comme ${(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {({(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(2 + \sqrt{7 x})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(2 + \sqrt{7 x})}^{1}}$

Étape 3.7.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{2 + \sqrt{7 x}}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})}$

Étape 4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})}$

Étape 5

Multipliez $\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})}$ par $\frac{2 - \sqrt{7 x}}{2 - \sqrt{7 x}}$ .

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})} \cdot \frac{2 - \sqrt{7 x}}{2 - \sqrt{7 x}}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x})}$ par $\frac{2 - \sqrt{7 x}}{2 - \sqrt{7 x}}$ .

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (2 + \sqrt{7 x}) (2 - \sqrt{7 x})}$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 6.2.1

Déplacez $2 + \sqrt{7 x}$ .

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} ((2 + \sqrt{7 x}) (2 - \sqrt{7 x}))}$

Étape 6.2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 2 \sqrt{7 x} + \sqrt{7 x} \cdot 2 - {\sqrt{7 x}}^{2})}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Réécrivez ${\sqrt{7 x}}^{2}$ comme $7 x$ .

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Étape 6.2.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 x}$ comme ${(7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {({(7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 6.2.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {(7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 6.2.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {(7 x)}^{\frac{2}{2}})}$

Étape 6.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {(7 x)}^{\frac{2}{2}})}$

Étape 6.2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - {(7 x)}^{1})}$

Étape 6.2.3.1.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - (7 x))}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (2 - \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} \cdot 2 + \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (- \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Étape 6.4

Remettez dans l’ordre.

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Étape 6.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} + \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} (- \sqrt{7 x})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cdot \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} \sqrt{7 x}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Multipliez $- \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} \sqrt{7 x}$ .

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Étape 7.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{7 x (7 (2 + \sqrt{7 x}))}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Étape 7.1.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{49 x (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Étape 7.2

Réécrivez $49 x (2 + \sqrt{7 x})$ comme $7^{2} (x (2 + \sqrt{7 x}))$ .

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Étape 7.2.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{7^{2} x (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Étape 7.2.2

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - \sqrt{7^{2} (x (2 + \sqrt{7 x}))}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Étape 7.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - (7 \sqrt{x (2 + \sqrt{7 x})})}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$

Étape 7.4

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{7 (2 + \sqrt{7 x})} - 7 \sqrt{x (2 + \sqrt{7 x})}}{4 x^{\frac{1}{2}} (4 - 7 x)}$