Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 9 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 9 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 9 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} - 9 - 1 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 9 - 1 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 9 - 1 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{- x^{2} - 9}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Étape 3.3.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{- x^{2} - 9}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 9}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.5

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (9)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (9)$ .

$\frac{- (x^{2} + 9)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.7

Réécrivez $- (x^{2} + 9)$ comme $- 1 (x^{2} + 9)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 9)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} + 9}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$