Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 + c e^{x}}{1 - c e^{x}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ est $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ où $f (c) = 1 + c e^{x}$ et $g (c) = 1 - c e^{x}$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 + c e^{x}] - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + c e^{x}$ par rapport à $c$ est $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $1$ par rapport à $c$ est $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d c} [c e^{x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $e^{x}$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $c e^{x}$ par rapport à $c$ est $e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \frac{d}{d c} [c]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ est $n c^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \cdot 1) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x}) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - c e^{x}$ par rapport à $c$ est $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $1$ par rapport à $c$ est $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ .

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Étape 5.1

Comme $- e^{x}$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $- c e^{x}$ par rapport à $c$ est $- e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \frac{d}{d c} [c])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ est $n c^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \cdot 1)}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 6

Soustrayez $e^{x}$ de $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 1 - (c e^{x})) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.2

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.1.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - c (e^{x} e^{x}) - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x} - c e^{x + x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.2.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4

Multipliez $- 1 (- e^{x})$ .

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Étape 7.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + 1 e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.5

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.4.1.5.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c (e^{x} e^{x})) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x + x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.5.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{2 x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.6

Multipliez $- c e^{2 x} \cdot - 1$ .

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Étape 7.4.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + 1 c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.1.6.2

Multipliez $c$ par $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.2

Associez les termes opposés dans $e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}$ .

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Étape 7.4.2.1

Additionnez $- c e^{2 x}$ et $c e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} + 0 + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.2.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$\frac{e^{x} + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.4.3

Additionnez $e^{x}$ et $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Étape 7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$

Étape 7.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{{(- c e^{x} + 1)}^{2}}$