Calcul infinitésimal Exemples

$x = t {(2 t + 1)}^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (t {(2 t + 1)}^{2})$

Étape 2

La dérivée de $x$ par rapport à $t$ est $x'$ .

$x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(2 t + 1)}^{2}$ comme $(2 t + 1) (2 t + 1)$ .

$\frac{d}{d t} [t ((2 t + 1) (2 t + 1))]$

Étape 3.2

Développez $(2 t + 1) (2 t + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t + 1) + 1 (2 t + 1))]$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t + 1))]$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $2 t$ par $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1 \cdot 1)]$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1)]$

Étape 3.3.2

Additionnez $2 t$ et $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 4 t + 1)]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = 4 t^{2} + 4 t + 1$ .

$t \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 4 t + 1] + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 t^{2} + 4 t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$t (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.2

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t^{2}$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$t (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$t (8 t + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.5

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (8 t + 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$t (8 t + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$t (8 t + 4 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.8

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$t (8 t + 4 + 0) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.9

Additionnez $8 t + 4$ et $0$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \cdot 1$

Étape 3.5.11

Multipliez $4 t^{2} + 4 t + 1$ par $1$ .

$t (8 t + 4) + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$t (8 t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Étape 3.6.2

Associez des termes.

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Étape 3.6.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$8 (t^{1} t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Étape 3.6.2.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$8 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Étape 3.6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 t^{1 + 1} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Étape 3.6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 t^{2} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Étape 3.6.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $t$ .

$8 t^{2} + 4 \cdot t + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Étape 3.6.2.6

Additionnez $8 t^{2}$ et $4 t^{2}$ .

$12 t^{2} + 4 t + 4 t + 1$

Étape 3.6.2.7

Additionnez $4 t$ et $4 t$ .

$12 t^{2} + 8 t + 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x' = 12 t^{2} + 8 t + 1$

Étape 5

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = 12 t^{2} + 8 t + 1$