Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{y^{5} - 2 y}{y^{3}}$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Simplifiez

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{5} - 2 y$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{5}$ .

$\int \frac{y \cdot y^{4} - 2 y}{y^{3}} d y$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$\int \frac{y \cdot y^{4} + y \cdot - 2}{y^{3}} d y$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y^{4} + y \cdot - 2$ .

$\int \frac{y (y^{4} - 2)}{y^{3}} d y$

Étape 1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$\int \frac{y (y^{4} - 2)}{y \cdot y^{2}} d y$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{y (y^{4} - 2)}{y \cdot y^{2}} d y$

Étape 1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{y^{4} - 2}{y^{2}} d y$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (y^{4} - 2) {(y^{2})}^{- 1} d y$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{4} - 2) y^{2 \cdot - 1} d y$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (y^{4} - 2) y^{- 2} d y$

Étape 2

Multipliez $(y^{4} - 2) y^{- 2}$ .

$\int y^{4} y^{- 2} - 2 y^{- 2} d y$

Étape 3

Multipliez $y^{4}$ par $y^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{4 - 2} - 2 y^{- 2} d y$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\int y^{2} - 2 y^{- 2} d y$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{2} d y + \int - 2 y^{- 2} d y$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C + \int - 2 y^{- 2} d y$

Étape 6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C - 2 \int y^{- 2} d y$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C - 2 (- y^{- 1} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} - 2 (- y^{- 1}) + C$

Étape 8.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + 2 y^{- 1} + C$