Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (\sqrt{x})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12

Multipliez $\frac{1}{1 + x}$ par $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x) \cdot 2}$

Étape 13

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1

Déplacez $2$ à gauche de $1 + x$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x)}$

Étape 13.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{(2 \cdot 1 + 2 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3

Associez des termes.

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Étape 14.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 14.3.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Étape 14.3.2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 14.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Étape 14.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 14.3.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 14.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 14.3.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.4.1

Factorisez $2 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 14.4.1.1

Factorisez $2 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 14.4.1.2

Factorisez $2 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})}$

Étape 14.4.1.3

Factorisez $2 x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{2}{2}})}$

Étape 14.4.2

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{1})}$

Étape 14.4.3

Simplifiez

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$