Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (x \ln (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x \ln (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 4.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x \ln (x)} \cdot 1 + \frac{1}{x \ln (x)} \ln (x)$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1}{x \ln (x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} + \frac{1}{x \ln (x)} \ln (x)$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{x \ln (x)}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} + \frac{\ln (x)}{x \ln (x)}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x \ln (x)} + \frac{\ln (x)}{x \ln (x)}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x \ln (x)} + \frac{1}{x}$