Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\sqrt{x + 7})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 7}$ comme ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 7$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 7$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 7])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 7$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Étape 10

Placez ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Étape 11

Multipliez $\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}} {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Étape 12

Multipliez ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1

Déplacez ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(x + 7)}^{\frac{1}{2}} {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Étape 12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Étape 12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Étape 12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Étape 12.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{1}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Étape 13

Simplifiez $2 {(x + 7)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Étape 14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} (1 + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 16

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} (1 + 0)$

Étape 17

Simplifiez l’expression.

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Étape 17.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} \cdot 1$

Étape 17.2

Multipliez $\frac{1}{2 (x + 7)}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)}$