Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$ comme ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 10

Différenciez.

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Étape 10.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 10.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 10.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 10.4.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 10.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 10.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 10.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 10.8

Associez les fractions.

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Étape 10.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 10.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}})$

Étape 10.8.3

Multipliez $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}})$

Étape 10.8.4

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{2 \cdot {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}})$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{2 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{2 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 11.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.5

Associez des termes.

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Étape 11.5.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.5.2

Multipliez $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x + 1 - x + 1}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.5.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{0 + 1 + 1}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.5.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1 + 1}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.5.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.5.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.5.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.5.8

Multipliez $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ par $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.5.9

Placez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 11.5.10

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.5.10.1

Déplacez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.5.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.5.10.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.5.10.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.5.10.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.5.10.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.5.10.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.5.10.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.5.11

Multipliez $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 11.5.12

Multipliez ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.5.12.1

Déplacez ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.5.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.5.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.5.12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.5.12.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.5.13

Simplifiez ${(x - 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{(x - 1) {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.5.14

Placez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{(x - 1) {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 11.5.15

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.5.15.1

Multipliez ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ par ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.5.15.1.1

Déplacez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(x - 1) ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 11.5.15.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{(x - 1) {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Étape 11.5.15.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{(x - 1) {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Étape 11.5.15.1.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{1}{(x - 1) {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.5.15.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{(x - 1) {(x + 1)}^{1}}$

Étape 11.5.15.2

Simplifiez $(x - 1) {(x + 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (x + 1)}$

Étape 11.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$