Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2 x e^{x}$ de $e^{x} (2 x)$ .

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Étape 5.2.1.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 5.2.1.2

Soustrayez $2 x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 5.2.2

Additionnez $x^{2} e^{x}$ et $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 5.2.3

Additionnez $- 2 e^{x}$ et $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0$

Étape 5.2.4

Additionnez $x^{2} e^{x}$ et $0$ .

$x^{2} e^{x}$

Étape 5.3

Réorganisez les facteurs de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2}$

Étape 5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2}$ .

$x^{2} e^{x}$