Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Étape 6

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 5 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 10

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 11

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 13

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 14

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 + 0)$

Étape 15

Additionnez $6 x + 5$ et $0$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5)$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5)$ .

$(6 x + 5) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$2 (3 x) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 (3 x) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.3.3

Réécrivez l’expression.

$3 x (3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.5

Multipliez $5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Étape 16.5.1

Associez $5$ et $\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{5 (3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 16.5.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.6

Pour écrire $9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.7

Associez $9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.9.1

Factorisez $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 16.9.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 16.9.1.1.1

Déplacez ${(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x \cdot 2 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.9.1.1.2

Déplacez $x$ .

$\frac{9 \cdot 2 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.9.1.2

Factorisez $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $9 \cdot 2 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 16.9.1.3

Factorisez $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (5)}{2}$

Étape 16.9.1.4

Factorisez $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (5)$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x + 5)}{2}$

Étape 16.9.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x + 5)}{2}$