Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(1 - x^{- 1})}^{- 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 - x^{- 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{- 1}$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Étape 2.5

Multipliez.

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.5.2

Multipliez ${(1 - x^{- 1})}^{- 2}$ par $1$ .

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réorganisez les facteurs de ${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$ .

$- x^{- 2} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - \frac{1}{x})}^{- 2}$

Étape 3.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(1 - \frac{1}{x})}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}$

Étape 3.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x - 1}{x})}^{2}}$

Étape 3.5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 1}{x}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{x^{2}} (1 \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}})$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.8.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$