Calcul infinitésimal Exemples

$y = (3 x^{2} - 4 x + 1) (5 - 6 x^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$ et $g (x) = 5 - 6 x^{2}$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} [5 - 6 x^{2}] + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Étape 2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Étape 2.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 6 (2 x)) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 1]$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.11

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.13

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.14

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4 + 0)$

Étape 2.15

Additionnez $6 x - 4$ et $0$ .

$(3 x^{2} - 4 x + 1) (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} (- 12 x) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x - 4)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} (- 12 x) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + (5 - 6 x^{2}) (6 x) + (5 - 6 x^{2}) \cdot - 4$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} (- 12 x) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + (5 - 6 x^{2}) \cdot - 4$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} (- 12 x) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5

Associez des termes.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$- 36 x^{2} x - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 36 (x^{1} x^{2}) - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 36 x^{1 + 2} - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 36 x^{3} - 4 x (- 12 x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.5

Multipliez $- 12$ par $- 4$ .

$- 36 x^{3} + 48 x \cdot x + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 (x^{1} x) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 (x^{1} x^{1}) + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 36 x^{3} + 48 x^{1 + 1} + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} + 1 (- 12 x) + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.10

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 5 (6 x) - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.11

Multipliez $6$ par $5$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 6 x^{2} (6 x) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.12

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{2} x + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 (x^{1} x^{2}) + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{1 + 2} + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.15

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{3} + 5 \cdot - 4 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.16

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{3} - 20 - 6 x^{2} \cdot - 4$

Étape 3.5.17

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} - 12 x + 30 x - 36 x^{3} - 20 + 24 x^{2}$

Étape 3.5.18

Additionnez $- 12 x$ et $30 x$ .

$- 36 x^{3} + 48 x^{2} + 18 x - 36 x^{3} - 20 + 24 x^{2}$

Étape 3.5.19

Soustrayez $36 x^{3}$ de $- 36 x^{3}$ .

$- 72 x^{3} + 48 x^{2} + 18 x - 20 + 24 x^{2}$

Étape 3.5.20

Additionnez $48 x^{2}$ et $24 x^{2}$ .

$- 72 x^{3} + 72 x^{2} + 18 x - 20$