Calcul infinitésimal Exemples

$y = (3 - x^{2}) (x^{3} - x + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 - x^{2}$ et $g (x) = x^{3} - x + 1$ .

$(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - x + 1] + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Étape 2.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 + 0) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Étape 2.7

Additionnez $3 x^{2} - 1$ et $0$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) (- (2 x))$

Étape 2.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) (- 2 x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(3 - x^{2}) (3 x^{2}) + (3 - x^{2}) \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + (3 - x^{2}) \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + 3 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5

Associez des termes.

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Étape 3.5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} - x^{2} (3 x^{2}) + 3 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 x^{2} - 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$9 x^{2} - 3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{2} - 3 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$9 x^{2} - 3 x^{4} + 3 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$9 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + 1 x^{2} + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$9 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + x^{2} + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.7

Additionnez $9 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.8

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.8.1

Déplacez $x$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + x \cdot x^{3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.8.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.5.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + x^{1} x^{3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + x^{1 + 3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.8.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + x^{4} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{4}$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 \cdot x^{4} - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.10

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} + 2 x \cdot x + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} + 2 (x^{1} x) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} + 2 x^{1 + 1} + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (- 2 x)$

Étape 3.5.15

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x$

Étape 3.5.16

Soustrayez $2 x^{4}$ de $- 3 x^{4}$ .

$10 x^{2} - 5 x^{4} - 3 + 2 x^{2} - 2 x$

Étape 3.5.17

Additionnez $10 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 5 x^{4} - 3 - 2 x$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 x - 3$